Бюллетень
Викторина
Глава
Диплом
Доклад
Элективный курс «практическая геометрия»
 Скачать 0.57 Mb.
|
1 2 3 4 5
| ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «ПРАКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Учитель физики и математики МБОУ- СОШ с. Красное Знамя Бурякова С. А. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Программа элективного курса для учащихся 9 классов, рассчитана на 12 часов. Цели: повысить качество подготовки учащегося к продолжению образования; усилить практическую направленность школьного курса геометрии; повысить интерес, мотивацию и, как следствие эффективность изучения геометрии; создать условий для формирования и развития:
В процессе обучения учащиеся приобретают следующие конкретные у м е н и я (компетентности), которые позволяют им быть успешными на следующей ступени образовательной ступени:
Перечисленные умения формируются на основе следующих з н а н и й:
В процессе изучения курса учащиеся знакомятся с именами таких ученых, как Евклид, Аристотель, Пифагор, Н. И. Лобачевский и с их ролью в становлении геометрии как науки. Завершается изучение элективного курса проведением защиты творческих работ. Тематический план
Литература
СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ Занятие 1 Тема: История геометрии как науки Цель: познакомить учащихся с историей развития геометрии Форма проведения: лекция с презентацией (см. Приложение) Лекция Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия» греческое, в переводе означает «землемерие». Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Это требовало определенного запаса геометрических и арифметических знаний. Постепенно люди начали измерять и изучать свойства более сложных геометрических фигур. По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тысячи лет до нашей эры люди умели определять площади треугольников, прямоугольников, трапеций, приближенно вычислять площадь круга. Они знали также формулы для определения объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. Сведения по геометрии вскоре стали необходимы не только при измерении земли. Развитие архитектуры, а несколько позднее и астрономии предъявило геометрии новые требования. И в Египте и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых могло производиться только на основе предварительных расчетов. Рассмотрим, какими познаниями в геометрии обладали некоторые народы и цивилизации: 1. Геометрические знания в Древнем Египте Современная наука располагает сравнительно небольшим числом египетских математических документов - около пятидесяти папирусов. Самым древним из них является «московский папирус», относящийся к эпохе 1850 г. до н.э. и содержащий 25 задач с решениями. Папирус был приобретен в 1893 г. русским востоковедом B.C. Голенищевым, а в 1912 г. перешел в собственность Московского музея изобразительных искусств. Папирус расшифрован русским академиком Б.А. Тураевым в 1917 г., а детально изучен в 1927 г. советским академиком В.В. Струве. Основываясь на способе написания курсивного иератического текста, специалисты предполагают, что он принадлежит ко времени правления XI династии (Аменемхетов-Сенусертов) периода Среднего царства Древнего Египта. Возможно, Московский математический папирус был написан при фараоне Сенусерте III или Аменемхете III. Описание Московского математического папирусаСлайд 2 Длина Московского математического папируса составляет 5,40 м, а его ширина от 4 до 7 см. Весь текст папируса в 1930 был разбит основателем марксистской школы исследователей Древнего Востока в СССР Василием Васильевичем Струве на 25 задач, к каждой из которых составитель привёл решение. Большинство задач Московского математического папируса посвящены практическим проблемам, связанным с применением геометрии. Задача № M10 Московского математического папируса Задача № 10 Московского математического папируса, связанная с вычислением поверхности корзины с отверстием 4,5, может сводиться к нахождению площади либо поверхности полушария, либо боковой поверхности полуцилиндра. Во всяком случае, это первый в истории случай определения площади кривой поверхности, требующий использования числа π, которое египтяне определяли ≈ , тогда как на всём Древнем Ближнем Востоке оно считалось равным трём. Таким образом, Московский математический папирус свидетельствует о том, что египтяне могли с большей точностью вычислять площади треугольника, трапеции, прямоугольника, круга, а также объёмы пирамиды, призмы, параллелепипеда, цилиндра и усечённой пирамиды. Задача № M14 Московского математического папируса Наибольшее внимание египтологов и математиков привлекает четырнадцатая задача Московского математического папируса. Само её существование указывает на то, что древние египтяне умели находить объёмы не только тетраэдра, но и усечённой пирамиды. Слайд 3 Вычисление усеченной пирамиды. Вам скажут: пирамида имеет в высоту 6, её основание - 4, а вершина - 2. Для решения вычислите квадрат 4-х. Получите 16. Сложите 4 и 4. Получите 8. Найдите квадрат от 2-х. Получите 4. Теперь сложите 16, 8 и 4. Это будет 28. Умножьте 1/3 на 6. Это будет 2. Умножьте 2 на 28. Это будет 56. 56 - вот это и есть ответ. Вы решили все правильно. Современное описание условия данной задачи: дана пирамида, верхняя часть которой отделена от нижней так, что нижняя часть пирамиды является четырёхугольной усеченной пирамидой с основаниями, равными соответственно 4 и 2 единицы, при высоте 6 единиц. Необходимо найти объём этого тела. Нам известно, что объём усеченной пирамиды определяется по формуле: Путём соответствующих вычислений автор папируса определил, что объём пирамиды составляет: Остаётся неизвестным путь нахождения этой формулы. Между тем, в Вавилоне для решения этой же задачи применили бы менее точную формулу: Другие папирусы относятся к более позднему периоду, а их содержание во многом повторяет «московский» и «лондонский». В задачах речь идет о количестве хлеба и различных сортов пива, о кормлении животных и хранении зерна. Геометрические задачи касаются преимущественно измерений и содержат правила для вычисления площадей треугольника и трапеции. Для вычисления площади произвольного четырехугольника со сторонами a, b, c, d использовалось правило, записываемое в современных обозначениях в виде S=2a+c 2b+d. Для площади круга с диаметром d правило имело вид S=(d?9d)2. По-видимому, египтяне не сознавали, что эти правила являются приближенными. Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное ок. 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см. Слайд 4 Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 и часто называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее в Лондоне, а вторая часть — в Нью-Йорке Задача № R51 папируса РиндаСлайд 5 треугольник из задачи R51 папируса Ринда Пример расчета площади треугольника. Если кто-то говорит вам: "Треугольник имеет «mryt» в 10 khet, а его основание - 4 khet. Какова его площадь?" Вычислить вам нужно половину от 4-х. Затем 10 умножьте на 2. Вот перед вами и ответ. Слово «mryt» вероятно означает высоту. «Khet» - мера измерения. Формула египтян идентична современной: Судя по одной из задач папируса Ахмеса, египтянам было известно свойство средней линии трапеции. Этот факт подтверждается рисунками на стенах храма Эдфу в Верхнем Египте, сделанными в более поздний период (II в. до н.э.). В папирусах есть правила для вычисления объемов таких тел, как куб, параллелепипед, цилиндр, причем все они рассматриваются конкретно как сосуды для хранения зерна. Самым замечательным результатом в египетских измерениях была формула (точнее, правило, ибо никаких формул тогда, конечно, не было) для вычисления объема усеченной пирамиды с квадратным основанием V=h(a2+ab+b2), где a и b — длины сторон квадратных оснований, h — высота. Этот результат, которому не найдено соответствующего ни в какой другой древней математике, особенно примечателен тем, что нет никаких оснований считать, что египтянам была известна теорема Пифагора! Ссылки на рассказы древнегреческих ученых, побывавших в Египте и видевших арпадонаптов, строивших прямые углы с помощью веревки, имевшей 3 + 4 + 5 = 12 узлов, не подтверждаются египетскими текстами. По тем же причинам сомнительно сознательное использование египтянами подобия, хотя в погребальной камере отца фараона Рамсеса II одной из пирамид обнаружена стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену можно переносить в увеличенном виде рисунки меньших размеров. В Древнем Египте не было терминов «фигура», «сторона фигуры». Вместо этого использовались слова «поле», «границы поля», «длина поля». Все математические знания египтян были исключительно рецептурными и не осознавались в качестве самостоятельной ветви знаний'. Несмотря на путешествия египтян в папирусных лодках, астрономия в Египте находилась на таком же примитивно-прикладном уровне, что и математика. Однако и крупнейший историк древности Геродот, и философ Демокрит, и сам Аристотель именно Египет считали колыбелью геометрии. Вот что пишет об этом древнегреческий ученый Евдем Родосский (V в. до н.э.). «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли вследствие разливов Нила, постоянно смывающего границы участков. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из практических потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное». 2. Геометрия в ВавилонеВозделывание почвы в районах блуждающих Тигра и Евфрат, текущих с Армянского нагорья, требовало большего технического искусства и регулировки, чем в районе Нила. К тому же Двуречье было перекрестком многочисленных караванных путей. Вместе с товарами в Вавилон попадали знания других народов. Шумеры писали на глиняных плитках, которые в большом количестве находят при раскопках. Найдены 44 глиняные таблички, которые можно считать своеобразной математической энциклопедией вавилонян, относящейся к 2000 г. до н.э. В табличках даны способы решения практических задач, связанных с земледелием, строительством и торговлей. Основной чертой геометрии вавилонян был ее арифметико-алгебраический характер. Как и в Египте, геометрия развивалась на основе практических задач измерения, но геометрическая форма задачи обычно являлась только средством для постановки алгебраической проблемы. Приведем пример, взятый с одной из табличек периода царствования Хаммурапи. «Площадь А, состоящая из суммы двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет стороны другого квадрата, уменьшенной на 10. Каковы стороны квадратов?» Если x и y — стороны квадратов, то мы будем иметь систему уравнении x2 + y2 = 1000; y=32x?10, сводящуюся к квадратному уравнению 913x2?340x?900=0, имеющему положительный корень x = 30. В действительности решение задачи в клинописном тексте таблички, как и во всех восточных задачах, ограничивается перечислением всех этапов вычисления, необходимых для решения квадратного уравнения: «Возведи в квадрат 10, это дает 100, вычти 100 из 1000, это дает 900...» и так далее. Тексты глиняных табличек вавилонян содержат правила для вычисления площадей простых прямолинейных фигур и для объемов простых тел. Теорема Пифагора была известна не только для частных случаев, но и в полной общности — трудно даже предположить, что вавилоняне подбором смогли найти такие «пифагоровы тройки» чисел, как 65; 72; 97 или 3456; 3367; 4825. Помимо простейших фигур, рассматривавшихся в Египте, математики Вавилона изучали некоторые правильные многоугольники, сегменты круга. Решались также задачи на подобие фигур. Пропорциональность отрезков, образующихся на прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна задолго до Фалеса. Это подтверждают клинописные таблички с задачами на построение пропорциональных отрезков путем проведения в прямоугольном треугольнике параллелей к одному из катетов. Известно было и свойство средней линии трапеции. В заключение отметим, что вавилонская математика оказала огромное влияние на математику Индии и Древней Греции, а также послужила отправным пунктом для расцвета математической культуры Ванского царства (Урарту) и соседней с ним Армении. 3.Древнеиндийская геометрияДревнеиндийская геометрия имела ярко выраженный практический характер и была тесно связана как с повседневными потребностями, так и с религиозными обрядами, в частности с культом жертвоприношения. В части дошедших до нас под названием «Сульва-сутра» («Правила веревки») священных древнеиндийских книг излагаются свойства фигур, связанных с построением алтарей-жертвенников. В настоящее время известно три книги «Сульва-сутра», авторами которых считаются Бодгойана (или Бодгоя-на, VI-VII в. до н.э.), Катиайана (или Катияна, IV-V в. до н.э.) и Апастамба (IV-V в. до н.э.). В этих книгах встречаются описания вычисления площадей, построения квадрата по данной его стороне, деление отрезка пополам, есть примеры практического применения подобия треугольников и теоремы Пифагора, которая имела следующую формулировку: «Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его большей и меньшей сторон. Квадрат на диагонали квадрата в два раза больше самого квадрата». В «Сутрах» правила и приемы приводятся так же, как у египтян и вавилонян, без каких-либо объяснений. Вот как выглядит «правило Катиайаны» для построения квадрата, равновеликого кругу: «Разделить диаметр на 15 равных частей и взять 13 таких частей для стороны квадрата, равного по пощади данному кругу». А вот правило для построения прямого угла — перпендикуляра к направлению жертвенника: «К концам отрезка длиной 39 прикрепим концы веревки длиной 51 с узлом на расстоянии 15 от одного из концов; держа за узел и, подтянув веревку, получим прямой угол». Кроме приведенной выше, индийцы знали другие пифагоровы тройки, например, 8; 15; 17 и 12; 35; 37. Древний КитайВсе сочинения, содержащие математические знания китайских ученых, дошли до нас от периода династии Хань (206-220 г. до н.э.), но в них содержится материал более раннего происхождения. Самое древнее китайское математико-астрономическое сочинение «Чжоу-би», написанное около 1100 г. до н.э., в первой главе содержит предложения, относящиеся к прямоугольному треугольнику, среди которых — и теорема Пифагора. В этом же сочинении содержится правило для определения площади круга: «Умножь диаметр сам на себя, раздели на четыре, возьми три раза». Итогом всех математических знаний древних китайцев явля¬ется трактат «Математика в девяти книгах» (II в. до н.э.), составителем которого является Чжан Цан (ум. 152 г. до н.э.). Трактат содержит 264 задачи без пояснительных текстов. В трактате «Математика в девяти книгах» первая книга названа «Измерение полей» и содержит задачи на вычисление площадей земельных участков различной геометрической формы. Среди приведенных фигур имеются треугольники, трапеции, прямоугольники, круги, круговые сегменты, сектора и кольца. Правила вычисления площадей прямолинейных фигур в основном совпадают с современными, но терминология еще несовершенна: вместо понятия «трапеция» употребляется название «косое поле», вместо «сегмента» — «поле в виде лука» и т.д. В пятой книге «Математики в девяти книгах» содержатся задачи на вычисление объемов крепостных стен, валов, плотин, каналов и других сооружений, и в связи с этим вычисляются объемы параллелепипеда, пирамиды, усеченной пирамиды, цилиндра. Из других письменных документов ученые делают предположение, что китайцы умели вычислять объем конуса и сферы, но достоверно сказать об этом сегодня не представляется возможным. Слайд 7 Девятая книга трактата имеет название «Гоу-гу» — так назывались катеты прямоугольного треугольника, причем гоу — вертикальный катет (в буквальном переводе — «крюк»), гу — горизонтальный катет («ребро», «связка»). Все 24 задачи этой главы решаются по правилу «гоу-гу», связывающему катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника, то есть по теореме Пифагора. В летописях отмечается, что пифагорова тройка 3; 4; 5 была известна в Китае около 2200 г. до н.э. Прослеживая зарождение и становление геометрии, легко усмотреть поразительную близость математических сведений у различных народов, практически не общавшихся. Это сходство (как по форме, так и по содержанию) говорит об общности практических задач, породивших эти математические знания. Так на протяжении тысячелетий опытом и разумом многочисленных безвестных тружеников и мыслителей закладывался фундамент математической науки. *** ...И все же, несмотря на то что человечество накопило такие обширные знания геометрических фактов, геометрия как наука еще не существовала. Геометрия стала наукой только после того, как в ней начали систематически применять логические доказательства, начали выводить геометрические предложения не только путем непосредственных измерений, но и путем умозаключений, путем вывода одного положения из другого, и устанавливать их в общем виде. Обычно этот переворот в геометрии связывают с именем ученого и философа VI века до нашей эры Пифагора Самосского». Однако все новые проблемы и созданные в связи с ними теории привели к тому, что совершенствовались сами способы математических доказательств, возрастала потребность создания стройной логической системы в геометрии. Но как строить такую систему? Ведь каждое отдельное предложение мы доказываем, опираясь на некоторые другие предложения. Эти предложения в свою очередь доказываются ссылкой на какие-то третьи предложения и т. д., эти ссылки мы могли бы продолжать до бесконечности, и процесс доказательства никогда бы не закончился. Как же быть? Это обстоятельство заметили еще в древности, и тогда же был найден выход. Не позднее IV века до нашей эры греческие математики при построении геометрии выбирали некоторые предложения, которые принимались без доказательства, а все остальные предложения выводили из них строго логически. Предложения, принятые без доказательства, назывались аксиомами и постулатами. Ватиканский манускрипт, т.2, 207v — 208r. Euclid XI prop. 31, 32 и 33. Наиболее совершенным образцом такой теории на протяжении более 2 тысяч лет служили «Начала» Евклида, написанные около 300 года до нашей эры». | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 2 3 4 5